分类： 数论

[研学] 质因数分解及素性判定

[研学] 质因数分解及素性判定

时间：2018.10 ~ 2019.3

参加成员：Modem_  Lagoon   _Qijia   mnihyc

感觉这个是人生巅峰了， Lagoon 上清华，剩下我们三也退役了，摆在这留作纪念ww  拿濑户口的话来说，就是萌新那会才是最辉煌的时期www

  • 【序言】

质数的研究一直是数学与信息学领域中的重要课题，质数的判定与质因数分解在现代通讯保密领域中更是发挥着重要的作用，本课题小组将通过此次研学机会对不同规模下自然数素性判定及质因数分解的有效算法进行探究，加深对该领域的了解和理解。

 

  • 【1.0】素数的定义

素数，又称质数。一个数 \(n\) 是素数当且仅当它是大于 \(1\) 的自然数且它的因数有且仅有 \(1\) 与 \(n\) 。

 

  • 【1.1】记号与规定

    1. 记 \(\displaystyle\mathbb{R}\) 表示实数集，\(\displaystyle\mathbb{N}\) 表示自然数集，\(P\) 表示素数集。
    2. 勒让德符号 \(\displaystyle\left( {\frac{n}{p}} \right)\)。设 \(\displaystyle p \in P,n \in \mathbb{N}\)。

 

  • 【1.2】素数的一些性质

    • \(P\) 是无限集。
    • 对于任意大于 \(1\) 的自然数，它要么是个素数，要么可以分解为若干素数之积，并且在忽略顺序的情况下，这样的分解是唯一的。
    • 小于 \(n\) 的质数大约有 \(\ln n\) 个。
    • 一个合数 \(n\) 最小的素因数因数一定小于 \(\sqrt n \)。
    • 费马小定理：设 \(p\) 是大于 \(2\) 的素数，则对于任意正整数 \(n\) 均有 \(\displaystyle \begin{array}{*{20}{c}}{{n^{p – 1}} \equiv 1}&{(\bmod p)}\end{array}\)。
    • Mertens’ second theorem。

 

  • 【2.0】素性判定

因为素数集为无限集，并且素数的分布没有规律，所以我们需要实现一个算法来判定一个数是否为素数。而素性判定算法正是这样一类算法：输入一个整数，返回这个数是“素数”还是“合数”。…

YZOJ P4621 [CSP-S 2019 四校联训 Round 1]生日悖论

YZOJ P4621 [CSP-S 2019 四校联训 Round 1]生日悖论

时间限制：1000MS      内存限制：131072KB

难度：\(5.0\)

  • 题目描述

一共有 \(N\) 种数字，所以按照包含数字的集合分类，可能有 \(2^N\) 类不同的集合。每个集合包含一种特定的数字的概率都是 \(\displaystyle\frac{1}{2}\) 。

随机取其中 \(k\) 个集合，请你帮忙算一下其中存在两个集合完全相同的概率。

  • 输入格式

一行两个整数 \(N,k\) 。

  • 输出格式

两个正整数，分别表示概率（最简分数）的分子和分母。分别对 \(10^6+3\) 取模吧。

  • 数据规模与约定

\(1 \leq N \leq 10^{18}\)，\(2 \leq k \leq 10^{18}\) 。

 

 

Source： CodeForces 711E ZS and The Birthday Paradox…

YZOJ P4587 斐波那契数列

YZOJ P4587 斐波那契数列

时间限制：1234MS      内存限制：43210KB

难度：\(6.5\)       （既然是自己搬的题还是正常一点吧w）

  • 题目描述

定义模意义下的递推数列 \(\displaystyle f_n=\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{,n \le 2}\\ {{f_{n – 1}} + {f_{n – 2}}}&{,n > 2} \end{array}} \right.\)，其中模数为 \(1000000009\) 。

给定整数 \(c\)（\(0 \leq c < 1000000009\)），求出它最早出现在数列的哪个位置，并输出下标。

若 \(c\) 永远不会出现在此数列的任一位置，则输出 \(-1\) 。

  • 输入格式

多组数据。

第一行一个正整数 \(T\) （\(0 < T \leq 100\)） 表示 \(T\) 组数据。

接下来 \(T\) 行每行一个数表示每组数据的 \(c\) 。

  • 输出格式

对于每组数据，输出一行一个数表示答案。

  • 样例输入

  • 样例输出

 

 

 

Source： BZOJ 5104…

YZOJ P3451 [SDOI2013]随机数生成器问题

YZOJ P3451 [SDOI2013]随机数生成器问题

时间限制：1000MS      内存限制：262144KB

难度：\(6.0\)

  • 题目描述

有一个随机数生成器，可以生成 \(0\) ~ \(p-1\) 之间的伪随机整数。在生成之前，需要设定一个随机数种子 \(k\) （\(0 \leq k < p\)），则生成器第 \(1\) 次生成的整数为 \(k\)。该随机数生成器有 \(2\) 个参数 \(a, b\)，如果第 \(i\) 次生成的整数为 \(x\)，则第 \(i+1\) 次生成的整数为 \((ax+b) \bmod p\) 。

现给定整数 \(t\) ，我们的问题是，该随机数生成器至少需要生成多少个数，才能生成得到 \(t\)？

对于给定的 \(p,a,b,k,t\) ，请计算要使随机数生成器生成整数 \(t\)，所需生成数的次数的最小值。

  • 输入格式

多组数据。第一行一个整数 \(T\) 表示数据组数，\(T \leq 50\) 。

接下来 \(T\) 行，每行五个整数 \(p,a,b,k,t\) 表示一组数据，其中 \(0 \leq a,b,k,t < p\) 。

  • 输出格式

对于每组数据，将随机数生成器的最小生成次数输出到文件中。

如果该随机数生成器无法生成整数 \(t\)，输出 \(-1\) 。

  • 样例输入

  • 样例输出

  • 数据规模与约定

对于 \(20\%\) 的数据，\(p \leq 100\) 。

对于另外 \(30\%\) 的数据，\(a=1\) 。

对于另外 \(30\%\) 的数据，\(b=0\) 。

对于 \(100\%\) 的数据，\(p \leq 10^9\) 且 \(p\) 是质数。

 

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YZOJ P3752 序列求差问题

YZOJ P3752 序列求差问题

时间限制：2000MS      内存限制：131072KB

出题人：Night        难度：\(6.0\)

  • 题目描述

有一个序列 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 。

求有多少个从 \(1,2,\cdots,n\) 中取三个元素的排列 \((a,b,c)\) 满足 \(x_a=x_b-x_c\) 。

由于是排列，所以 \((a,b,c)\) 与 \((c,b,a)\) 视为两组解。

  • 输入格式

第一行一个整数 \(n\) 表示序列长度。

第二行为 \(n\) 个整数表示序列里的 \(n\) 个数。

  • 输出格式

一行一个正整数，表示答案。

  • 样例输入

  • 样例输出

  • 数据规模与约定

对于 \(20\%\) 的数据，\(1 \leq n \leq 500\)；

对于 \(45\%\) 的数据，\(1 \leq n \leq 5000\)；

对于 \(100\%\) 的数据，\(1 \leq n \leq 1000000\)，\(0 \leq \left|x_i\right| \leq 100000\) 。

 

 

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YZOJ P2163 [THUSC2015]解密运算

YZOJ P2163 [THUSC2015]解密运算

时间限制：1000MS      内存限制：131072KB

难度：\(7.0\) （自评）

  • 题目描述

对于一个长度为 \(N\) 的字符串，我们在字符串的末尾添加一个特殊的字符 “.” 。之后将字符串视为一个环，从位置 \(1,2,3,\cdots,N+1\) 为起点读出 \(N+1\) 个字符，就能得到 \(N+1\) 个字符串。

比如对于字符串 “ABCAAA”，我们可以得到这 \(N+1\) 个串：

接着我们对得到的这 \(N+1\) 个串按字典序从小到大进行排序（注意特殊字符 “.” 的字典序小于任何其他的字符）结果如下：

最后，将排序好的 \(N+1\) 个串的最后一个字符取出，按照顺序排成一个新的字符串，也就是上面这个表的最后一列，就是加密后的密文 “AAAC.AB” 。

请通过加密后的密文求出加密前的字符串。

  • 输入格式

第一行有两个整数 \(N, M\)，分别表示加密前的字符串长度和字符集大小，其中字符用整数 \(1,2,3,\cdots,M\) 编号，添加的特殊字符 “.” 用 \(0\) 编号。

第二行为 \(N+1\) 个整数，表示加密后的字符串。

  • 输出格式

输出仅一行，包含 \(N\) 个整数，用空格隔开，依次表示加密前字符串中每个字符的编号。

  • 样例输入

  • 样例输出

  • 数据规模与约定

\(N,M \leq 200000\) 。

 

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YZOJ P2697 画圆

YZOJ P2697 画圆

时间限制：1000MS      内存限制：131072KB

难度： \(5.1\)

  • 题目描述

在初中数学课上，\(Alkri\) 学习了圆的相关知识，他对与圆有关的问题更加感兴趣了。

\(Alkri\) 想在平面直角坐标系的第一象限中依次画 \(n\) 个与两坐标轴均相切的圆，其中，第 \(1\) 个圆的半径为 \(r\)，之后的每个圆都比上一个圆大，且与上一个圆相切，也就是说，对所有整数 \(2 \leq i \leq n\)，第 \(i\) 个圆的半径大于第 \(i-1\) 个圆的半径且与第 \(i-1\)个圆相切。

例如当 \(n=3\) 时，三个圆 \(C_1, C_2, C_3\) 如下图所示（由于 \(C_3\) 比较大，未画完整）：

现在，\(Alkri\) 很好奇：第 \(n\) 个圆的半径 \(R\) 到底有多大？他知道 \(R\) 不一定是整数（真聪明！），并且可能非常大，所以只需要你保留 \(R\) 的整数部分（向下取整）的末尾 \(p\) 位数字即可。

  • 输入格式

输入仅一行，包含三个整数 \(n\)，\(r\)，\(p\)，意义如题目所述。

  • 输出格式

输出仅一行一个整数，表示第 \(n\) 个圆的半径 \(R\) 的整数部分的末尾 \(p\) 位。注意当 \(R\) 的整数部分实际位数超过 \(p\) 时需要输满 \(p\) 位（即需要保留前导0），如果实际位数不满 \(p\) 位则不用补前导 0 。

  • 输入样例

  • 输出样例

  • 样例说明

第 \(10\) 个圆的半径整数部分为 \(38808989\)，要求输出整数部分的末尾 \(5\) 位数，因此输出 \(08989\) 。注意保留前导 0 。

  • 数据规模与约定

 

 

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YZOJ P1800 质数生成器

[NOIP2015四校联训Day8]质数生成器

时间限制：1000MS 内存限制：131072KB

  • 题目描述

生成给定范围内的所有质数。

  • 输入格式

有多组数据。

输入数据第一行是一个整数\(T(T\leq10)\)，表示测试数据的组数。

接下来\(T\)行，每行有两整数\(m, n\)，表示要求生成质数的范围是\([m, n] (1 \leq m \leq n \leq 10^9, n-m \leq 10^6)\)

  • 输出格式

对于每一组测试数据，输出所有在\([m, n]\)中的质数\(p\)，一行一个。

不同测试数据之间用一个空行分隔。

  • 样例输入

  • 样例输出

  • 数据规模与约定

对于\(30\%\)的数据，\(m < n \leq 10^3\)；

对于\(50\%\)的数据，\(m < n \leq 10^6 且 n-m \leq 10^3\)；

对于\(100\%\)的数据，\(m < n \leq 10^9 且 n-m \leq 10^6\)；…